Ахиллес и черепаха.

В. Н. Гуськов

Разговор пойдет об известной апории (трудность в др. греч. яз.) Зенона Элейского согласно которой самый быстрый бегун античности (Ахиллес) никогда не догонит самое медлительное животное (черепаху) если в начале движения она находится впереди Ахиллеса.
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади её на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху». (Википедия)
Такой противоречащий реальности вывод заставлял множество мыслителей во все последующие века искать в апории внутреннее логическое противоречие, из-за которого возникло парадоксальное заключение. Однако это оказалось совсем непросто.
В результате многие исследователи находят, что апория логически построена безупречно.
Другие – что противоречиво движение само по себе. Так, например, думал Гегель, который видел в парадоксальности апории отражение диалектики движения.
Существует множество других мнений, в частности, что наше мышление в принципе не в состоянии отразить происходящее в реальности в соответствующем виде.
Мы попытаемся еще раз обнаружить в апории внутреннее противоречие и обосновать точку зрения, согласно которой Зенон рассуждает нелогично, поэтому и приходит к парадоксальным выводам.

Первое на что следует обратить внимание при анализе содержания апории это двойственность и непоследовательность рассуждений. Сначала Зенон обращается к реальному процессу сближения движущихся объектов, который имеет завершение, как во времени, так и в пространстве. Затем переходит к обсуждению процесса возможной бесконечной делимости расстояния разделяющего движущиеся объекты. А вывод делает о бесконечной длительности опять же реального процесса. Зенон ничем не обосновывает логичность такого перехода от рассмотрения одного процесса (сближение объектов) к другому (деление расстояния) и не доказывает зависимость временной длительности реального процесса от длительности деления расстояния разделяющего объекты. Очевидно, Зенон считает, что объединение этих процессов и что самое главное их характеристик в одно целое вполне допустимо. В чем позволим себе усомниться.

Естественно, что если мы исходим из бесконечности делимости конкретного отрезка расстояния или времени, то они и будет бесконечно делимым. Однако прийти к выводу, что тот конечный отрезок времени или расстояния, который Зенон начал делить сам по себе является бесконечным не из чего. Точно также из бесконечной длительности деления конечных отрезков времени или расстояния не следует вывод о бесконечной длительности процесса.
Бесконечная делимость на бесконечные части это одно, бесконечная длительность этого процесса делимости другое, а бесконечная длительность самого события – третье. Поэтому первое, что мы должны сделать, стремясь сохранить логику рассуждений это отделить длительность выполнения операции или бесконечность количества математических действий по делению от длительности самого конечного процесса. (Если допустимо объединять эти процессы тогда будет логичным рассмотреть и процесс бесконечного деления в свете конечности реального события. Тогда можно прийти к выводу, что бесконечной делимости не может существовать, т. к. реальная длительность всегда конечна.)

Зенон поступает наоборот, он не различает эти два (три?) процесса и в результате из теоретической возможности бесконечной делимости процесса, из бесконечности количества математических действий, делает вывод о принципиальной нескончаемости реального процесса. Правда Р. Хазарзар в статье Апории Зенона утверждает, что эта «незавершаемость» реального процесса имеет какой-то иной, не временной, характер, поскольку Зенон не отрицает наличие у процесса конечной длительности.
Было бы довольно странным, если бы Зенон начал отрицать это поскольку он же сам операцию по делению расстояния начинал с конечных отрезков. Но в том-то и состоит парадокс, что Зенон впоследствии приходит к выводу о нескончаемости процесса сближения именно во времени, наделяя тем самым его как бы еще одной временной длительностью. Тем более что поиски наличия, каких-то иных длительностей, отличных от временной длительности у процесса материального движения ни к чему не приведут. Поэтому следует признать, что Зенон осознанно или нет, сначала наделяет процесс выполнения действий по делению временной длительностью, а затем переносит эту длительность на длительность реального процесса. Он как бы объединяет две не совпадающих временных длительности в характеристике одного процесса.
Нельзя согласиться и с тем, что, как считает Р. Хазарзар, рассуждение в апории можно без проблем перенести во временную плоскость. «Никогда не пройдет одна секунда, ибо когда пройдет полсекунды, останется полсекунды, когда пройдет половина полсекунды (¼), останется ¼ секунды…» и т. д»..
Делить время, как и расстояние без сомнений можно и отдельно, но только не в том случае, когда речь идет о процессе движения. Отделять в характеристике материального процесса движения пространство и время друг от друга совершенно не допустимо.
Почему? Поясним на простом примере.Предположим, что мы приступили к (практическому) делению какого-то конечного отрезка длины, допустим портновского метра, разрезая его на части. Естественно каждое действие займет определенное время и если, в идеале, количество таких действий окажется бесконечное количество, то естественно и время, затраченное на их выполнение, будет бесконечным.
Как видим выполнение операции по бесконечному делению расстояния (протяженности) не связанного с временной длительностью в единый процесс – движение, проходит без проблем.
А теперь перенесем наши рассуждения на процесс движения и в частности на процесс сближения двух объектов движущихся в одном направлении с разной скоростью. Здесь нам неизбежно приходится делить не просто расстояние, а расстояние, меняющееся во времени. Деление времени оставшегося до завершения процесса сближения приводит к постоянному уменьшению его длительности.
Между тем как мы убедились на примере сам по себе процесс деления (если он протекает во времени) по мере роста выполняемых действий по делению требует все большего времени, т. е. наблюдается обратная тенденция постоянного увеличения длительности процесса.
Получается что процесс деления во времени и процесс деления времени (длительности процесса) протекают во встречных направлениях. Если мы объединим эти два представления – о длительности процесса и о длительности делимости этого же процесса, в одно целое то и получим противоречивое заключение. Соглашаясь с тем, что процесс сближения ведет к уменьшению длительности события мы с другой стороны признаем увеличение его длительности по мере деления до бесконечности.
В конце концов, если мы не отказываемся утверждения что они оба характеризуют один и тот же процесс, а именно процесс сближения, то получаем абсурдный вывод – «и вечно будет длиться миг».
Именно к такому выводу и приходит Зенон. Это противоречивое суждение об одном и том же (длительности процесса сближения) появляется тогда, когда Зенон (осознанно или нет) объединяет длительность процесса деления или вообще бесконечность количества выполняемых действий по делению с реальной длительностью процесса сближения Ахиллеса и черепахи.
Когда это происходит в сознании Зенона, он начинает связывать математические бесконечности с реальным течением процесса и видит что они, как его характеристики, не позволяют завершиться процессу, несмотря на его конечную реальную длительность. Тем самым Зенон совершает логическую ошибку, необоснованно наделяя процесс сближения не свойственными ему характеристиками.
Фактически он объединяет два процесса: движения и математического деления в одно целое в результате получается «нежизнеспособный» абстрактно-реалистический «кентавр» – и не реальный процесс движения, и не собственно процесс деления.

Как мы видели в примере с метром если бесконечно делить отдельно расстояние не связанное со временем, то никакого противоречия не получается. Есть один процесс деления и соответствующее ему время. А в случае с Ахиллесом наряду с процессом деления пространства-времени есть еще реальный процесс движения объектов. Так вот, как мы убедились, если делить реальное время и определять длительность этого процесса деления опять же во времени, то возникает неразрешимое противоречие, но только в одном случае – когда делению во внешнем времени подвергается реальное время обладающее длительностью.
Если же делить абстрактные единицы времени лишенные реальной длительности, то противоречия не будет. Такие абстрактные секунды можно делить бесконечно во времени.
Возможен и обратный вариант, когда реальная длительность подвергается делению, но не во времени, а математически – количественно. Здесь также не возникает противоречия, поскольку количественная бесконечность делимости не имеет никакого отношения к актуальной временной длительности.
Из сказанного можно сделать вывод, что недопустимо делить движение или время, которое характеризует движение, в реальном внешнем по отношению к нему времени. Есть основания считать, что должно существовать правило (если не закон) согласно которому все сущее (реально существующее) может подвергаться делению только в пределах его собственного содержания. Собственно оно существует и соблюдается в нашем мышлении, но только не в отношении времени. Его суть в том, что даже теоретическое деление предмета или явления должно происходить в пределах их содержательных границ. Ведь никто, деля тот же самый метр, не делит вместе с ним находящийся в смежном пространстве еще один хотя бы сантиметр.
Почему же при делении времени мы поступаем произвольно, допуская делимость самого малого мгновения в другой длительности вплоть до вечности? Да только потому, что мы делим не реальное время с присущей ему длительностью, а абстрактное пустое время, лишенное длительности. Такое «время» лишенное своего главного свойства – актуального течения, хода можно делить как угодно и сколь угодно. Реальное же время можно делить только в пределах его длительности! И если Зенон по каким-то причинам не смог выполнить очередное действие деления и разделить оставшуюся часть пути отделяющего Ахиллеса от цели то он не в состоянии остановить его, говоря – «подожди, я еще не совершил действие деления».
Зенон искусственно растягивает длительность события, замедляя тем самым бег времени. Поэтому не удивительно, что если прекратить деление выполняемое Зеноном на любом этапе, то процесс завершится без проблем и объекты поравняются.
Этот безусловный факт указывает на то, что от достижения цели Ахиллеса удерживает отнюдь не непреодолимость оставшегося пути из-за его объективной нескончаемости. Удерживает произвольное (субъективное) деление якобы полноценного времени (а на самом деле его пустой абстракции) во внешнем времени. Тем самым к самому минимальному интервалу времени оставшемуся до завершения внутреннего времени добавляется длительность, связанная с выполнением произведенных действий по делению которые во внешнем времени могут продолжаться сколь угодно. Можно возразить – делит то Зенон все-таки конечный промежуток времени, – каким же образом он выходит за пределы этой длительности? Дело то в том, что он только формально остается в пределах этой конечной длительности, а по сути, абстрагируется от нее и тем самым выходит за ее пределы.
Выходит за пределы реального осуществления события, а затем, завершая свои рассуждения об абстрактном актуально не длящемся времени, Зенон привязывает вывод о бесконечной делимости абстрактного «псевдовремени» к реальной длительности события.
Где здесь безупречность логичного доказательства, о котором говорит, например Комарова. (см. В. Я. Комарова. Учение Зенона Элейского. Л., 1988).

В свете сказанного становится ясно, что никакой “истинной” парадоксальности, как считает Уитроу Дж. (см. Уитроу Дж. Естественная философия времени. Стр. 197), в апории не содержится.
Нет никаких действительных проблем и в том, «что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться» (Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979. С. 40.).
Те события, о которых говорят авторы, не имеют прямого отношения к актуальной длительности процесса, поскольку сами лишены ее. Это абстрактные события протекают в «псевдовремени» и пытаться разместить их непротиворечиво в конечной временной актуально текущей длительности, это все равно, что задаваться вопросом (который активно обсуждался схоластиками в средние века) о количестве чертей которые могут поместиться на острие иглы.
Авторы озадачены размещением потенциально возможного бесконечного количества абстрактных временных отрезков лишенных реальной длительности в актуально конечной временной длительности.
Но это совершенно разные вещи и реальная длительность не может состоять из абстрактных частей. Реальную конечную длительность можно делить только в пределах этой длительности и только актуально. А поскольку реальная длительность конечна, то и никаких действительных причин, которые препятствовали бы завершению события, нет.

Объективно делить конечное время в пределах собственного содержания, значит делить его длительность на такие части, существование которых точно установлено. Например, земной год можно разделить на земные сутки, поскольку существование материальных процессов такой длительности точно установлено. Наконец любой отрезок временной длительности можно разделить на минимальную известную науке длительность (условный квант). (В настоящее время это, по всей видимости, «йоктосекунда» (10−24 секунды) которая характеризует длительность существования нестабильных элементарных частиц.)
Если отрезок времени, оставшийся после деления, окажется меньше этой величины то его дальнейшее деление лишено физического смысла и это означает, что рассматриваемый процесс завершается в следующий минимальный интервал. Тогда произойдет отделение теоретически возможной бесконечной делимости абстрактных пространства и движения (времени) от реальной делимости их содержания. (Нужно учитывать, что речь в апории идет об относительном времени, делимость безотносительного времени вызывает большие сомнения.)

Вообще, при выполнении операций по уменьшению (делению, вычитанию) любой реально существующей конечной временной длительности ни актуальной, ни тем более потенциальной, бесконечным длительностям взяться неоткуда. Бесконечность может появиться только при выполнении операции по увеличению (умножению, прибавлению) этой длительности.
Иными словами реальное конечное время делить бесконечно в пределах его актуальной (текущей) длительности невозможно. С ним можно выполнять математические операции, во внешнем времени только как с абстрактным числом лишенным реальной длительности, но это уже не будет собственно время.
Поэтому утверждать, что реальное конечное время можно делить бесконечно во времени значит утверждать, что конечная длительность может длиться бесконечно, т. е. прийти к противоречию.
Итак, если делению подвергается реальное время, обладающее текущей (актуальной) длительностью то из факта его конечности следует что делить его бесконечно невозможно. Количество частей объективно ограничено, либо существованием неделимых квантов времени (движения), либо принципиальной невозможностью деления движения (времени) вообще.
Именно к такому выводу должен был бы прийти Зенон в ходе своего рассуждения сохраняя логику если бы не был одержим идеей доказать принципиальную бесконечность реально конечной длительности процесса. Ради чего он и объединил две длительности принципиально разных процессов в одно внутренне противоречивое и поэтому не реальное целое.

Итак, можно выделить следующие причины, по которым выводы апории становятся парадоксальными.
1. Без достаточных на то оснований Зенон распространяет возможность бесконечной делимости или длительности деления расстояния и времени на длительность самого процесса сближения объектов.
2. Зенон объединяет длительности двух процессов (реального движения и его математического деления) вместе и использует их в качестве характеристик одного и того же процесса сближения. А поскольку реальный процесс сближения неумолимо близится к завершению, а процесс деления к бесконечности то это порождает логическое противоречие.
3. Зенон допускает делимость конечной длительности реально текущего времени в таком же но бесконечном времени, вынося тем самым процесс деления за пределы временной длительности события. Бесконечное деление конечного отрезка времени теоретически возможно только либо вне времени либо во внешнем времени. – количественно, на абстрактные части. Но такие части не будут иметь временной длительности, поэтому пытаться размещать их в реальную длительность временного отрезка некорректно. С абстрактным временем (не имеющим длительности) можно выполнять любые математические операции которые никак не скажутся на его реальной длительности. Поэтому, даже бесконечное количественное деление отрезка времени лишенного длительности никак не может повлиять на длительность реального временного отрезка.
4. Зенон размещает в реальную длительность события абстрактные отрезки “псевдовремени” которые могут быть получены только либо делением вне времени (исключительно количественно), либо делением во внешнем времени.

Выводы.

Внутреннее построение апорию нельзя признать логически безупречной. Зенон в ходе рассуждения допускает логические ошибки, поэтому его выводы нельзя признать корректными.
В апории не находит отражение диалектика движения и логически верное размышление устраняет все противоречия между мыслимым и действительным содержанием материального движения.
Самый общий вывод, который можно сделать при верном разрешении апории: конечный отрезок движения (времени) математически бесконечно делим и вместе с тем конечный отрезок движения (времени) динамически конечен.
Эти две характеристики движения не противоречат друг другу, поскольку в них движение рассматривается с разных сторон. В первом случае движение делиться в статике без учета его главного свойства – текущей (актуальной) длительности, как абстрактная величина. Во втором – как явление, находящееся в постоянном преобразовании.
Поэтому на требование Зенона, обращенное к Ахиллесу – «остановись, я еще не выполнил деление», он должен ответить – «делите, а я продолжу движение». И будет прав, поскольку математическое деление абстрактного движения и само движение как преобразование – разные вещи.

P. S.
Отметим еще, что общее заключение Зенона об отсутствии движения не сочетается с его выводами о том, что процесс сближения будет длиться всегда. Разве бесконечность делимости процесса движения доказывает его отсутствие? Скорее наоборот – бесконечная делимость и нескончаемость процесса движения указывает на его вечность и повсеместность.

Общение с автором: v.gusckow@yandex.ru

11 комментариев на «Ахиллес и черепаха.»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.